Langsung ke konten utama

Sistem Bilangan Nyata

SISTEM BILANGAN NYATA
A.  Pengertian Sistem Bilangan Nyata

Sistem bilangan nyata adalah suatu himpunan dari unsur-unsurdengan operasi yang dapat didefinisikan (+ , - , : , log , dan akar ). Sedangkan himpunan-himpunan dalam aljabar adalah himpunan-himpunan bilangan. 
Dapat disimpulkan bahwa bilangan real adalah bilangan-bilangan yang dapat mengukur panjang, beserta bilangan negatif dan bilangan nol. Atau dengan kata lain bilangan real adalah bilangan yang dapat diurutkan dengan bilangan nol menjadi titik awal untuk mengukur jarak ke kanan (positif) dan ke kiri (negatif).

Adapun berikut adalah pengertian dari bagian bilangan real:
1.         Bilangan Irasional
Bilangan irasional adalah bilangan real yang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernah terhenti). Contoh paling umum dari bilangan irasional adalah bilangan akar,pi dan bilangan e.
2.         Bilangan Rasional
Bilangan rasional adalah bilangan real yang jelas ukurannya (hasil baginya dapat terhenti). Meliputi:
a.    Bilangan Pecahan
Bilangan pecahan adalah istilah dalam matematika yang terdiri dari bilangan pembilang dan penyebut. Hakikat transaksi dalam bilangan pecahan adalah bagaimana cara menyederhanakan pembilang dan penyebut. Penyederhanaan bilangan tersebut hanya akan mempermudah dalam operasi aritmatika tanpa mengurangi nilai dari bilangan tersebut.
b.    Bilangan Bulat
Bilangan bulat adalah bilangan yang mencakup:
·      Bilangan cacah meliputi bilangan 0,1,2,3...
·      Bilangan nol (0)
·      Bilangan negatif, merupakan bilangan yang kurang dari nol. Meliputi: -1,-2,-3,...
·      Bilangan asli, merupakan bilangan yang lebih dari nol dan dapat disebut sebagai bilangan positif. Meliputi: 1,2,3...
·      Bilangan prima, merupakan bilangan yang tidak dapat dibagi dengan bilangan lain, kecuali bilangan itu sendiri dan bilangan satu (1). Meliputi: 2,3,5,7....
·      Bilangan komposit, merupakan bilangan asli lebih dari satu namun bukan bilangan prima. Meliputi: 4,6,8,9...

B.  Operasi Bilangan Real
1.    Operasi Penjumlahan
a + b = c, dengan a, b, c ΠR
2.    Operasi Pengurangan
a ˗ b = c <=> a + (-b) = c, dengan a, b, c ΠR
3.    Operasi Perkalian
a x b = c, dengan a, b, c Î R
4.    Operasi Pembagian
a/b =a x 1/b=c, dengan a, b, c Î R

C.  Sifat-Sifat Operasi Bilangan Real
1.    Penjumlahan
a.       Sifat tertutup
a + b = r
b.      Sifat komutatif
a + b = b + a
c.       Sifat asosiatif
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
d.      Sifat distributif perkalian
a( b + c ) = ab + ac (distributif kiri)
( b + c)a = ba + ca (distributif kanan)
e.       Sifat identitas pada penjumlahan
0 + a = a <=> a + 0 = a
Sehingga dapat disimpulkan bahwa 0 adalah elemen identitas atau elemen netral.
f.       Sifat invers
a + (-a) = 0 <=> (-a) + a = 0
2.    Perkalian
a.       Sifat tertutup
a. a x b = r
b.      Sifat komulatif
a x b = b x a
c.       Sifat asosiatif
(a x b) c = a (b x c)
d.      Sifat identitas
a x 1 = a
sehinga dapat disimpukan bahwa 1 adalah elemen identitas atau elemen netral.
e.       Sifat invers (pada perkalian tidak berlaku, sebab 0 tidak mempunyai invers).
a x 1/a = 1/a x a = 1 ( untuk a bukan 0)
0 x 1/0 bukan 1 (tidak didefinisikan)
f.       Hasil perkalian dua bilangan bulat dilihat dari tanda bilangannya
·         Hasil perkalian dua bilangan bulat positif adalah biangan positif
(+) x (+) = (+)
·         Hasil perkalian dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif
(-) x (-) = (+)
·         Hasil perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat negatif
(+) x (-) = (-)
(-) x (+) = (-)
3.    Pembagian
a.       Tidak berlakunya sifat komulatif
a/b bukan b/a
b.      Sistem operasinya berkebalikan dari perkalian
a/b = c bukan c/b = a
c.       Hasil dari pembagian dua bilangan bulat dilihat dari tanda bilangannya
·         Hasil bagi dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif
( + ) : ( + ) = ( + )
·         Hasil bagi dua bilangan negatif adalah bilangan bulat positif
( - ) : ( - ) = ( + )
·         Hasil bagi dua bilangan salah satu bilangan bulat negatif dan bilangan bulat positif, maka hasil pembagiannya adalah bilangan bulat negatif
( + ) : ( - ) = ( - )
( - ) : ( + ) = ( - )
d.      Hasil pembagian dengan nol ( 0 )
a : 0 = tidak terdefinisikan
0 : a = 0
Untuk semua bilangan bulat
e.       Tidak berlakunya sifat asosiatif
( a : b ) : c bukan a : ( b : c )
f.       Tidak bersifat tertutup. Jika pada penjumlahan maupun perkalian a/b = c, maka dalam pembagian, c bisa saja tidak bilangan bulat.
Contoh: 6 : (-9) = (-2/3)
4.    Pengurangan
a.       Dasar operasi pengurangan
a – b = a + ( -b )
b.      Sifat tertutup
a – b = c
c.       Tidak berlakunya sifat asosiatif
a – b bukan b – a
d.      Tidak berlakunya sifat komulatif
(a – b ) –c bukan a – ( b – c )
e.       Sfat pengurangan nol 0
a – 0 = a
0 – a = ( -a )

0 – 0 = 0 
Label:

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

PENGERTIAN ASWAJA ETIMOLOGI DAN TERMINOLOGI

Aswaja secara etimologi: Ahlus Sunnah wal-Jama’ah tersusun dari 3 (tiga) kata : 1.       Ahlun : keluarga, pengikut atau golongan. 2.       Al-Sunnah :   al-thariqah(jalan dan prilaku) baik benar atau keliru. 3.       Al-Jama’ah : orang-orang yang memelihara kebersaman dan kolektifitas dalam mencapai satu tujuan. Aswaja secara terminologi : -           Al- Sunnah: Suatu nama untuk cara yang diridhoi dalam agama yang telah ditempuh Nabi saw dan para sahabatnya. -           Al- Jama’ah: Kelompok kaum muslimin dari para pendahulu dari kalangan sahabat, tabi’in dan orang-orang yang mengikuti jejak kebaikan mereka sampai hari kiamat. Menurut hasil Keputusan Bahtsul Masail Munas Alim Ulama NU di Jakarta tanggal 25-28 Juli 2002, Ahlussunnah wal Jama’ah adalah orang-orang yang memegang teguh Al-Qur’an d...
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Filosofi Batik

Tembung Batik saking tembung “amba” kang nduweni teges nulis lan titik. Tembung batik tumuju ing kain kang nduweni corak saka “malam” (lilin) kang diaplikasikake marang kain sehingga isa nyumbat wenter supaya ora isa nembus. Ing proses damele, batik tulis ngelambangake kesabaran, lan ngati-ngati sehingga saget nggambarake katenangan ingkang damel. Batik nduweni nilai seni kang duwur lan sampun dados budaya Indonesia. Tradisi ing jawa ngutamakake meditasi lan mistik, kangge nggayuh kamuliaan lan niku diabdikake marang corak-corak batik tanpa nyampingake pengabdian marang raja-raja. Biasana batik isa digunanake kangge sarana komunikasi tradisional kang muat lambang utawa simbol budaya kasebut, sahingga saben batik nduweni arti lan maksut dewe-dewe. Pola, motif lan werna batik konon nduweni arti simbolik. Niki disebabake jaman kae batik digunakake dadi ageman upacara, sahingga saget nggambarake suasana upacara kasebut lan nambah suasana magis. Ing ngandapipun wonten sedasa tu...
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Sejarah awal mula munculnya Aswaja dan perkembangannya

Sejarah awal mula munculnya Aswaja dan perkembangannya Ahlus Sunnah wal Jama’ah sebagai sebuah nama, tidaklah muncul pada masa Rasulullah saw sebab pada saat itu umat Islam masih bersatu. Pada masa Rasulullah saw seseorang yang memeluk Islam, cukup disebut muslim atau mukmin .   Setelah Nabi saw wafat dan setelah lahir beragam aliran sempalan dalam sejarah umat Islam seperti khawarij, syi’ah, Qadariyah dan lain-lain, pasca terbunuhnya khalifah Usman bin Affan dan terjadinya konflik internal dikalangan umat Islam, maka generasi yunior sahabat Nabi saw seperti Abdullah bin Abbas, Abdullah bin Umar dan Abu Said al-Khudri, memberikan nama kelompok mayoritas kaum muslimin yang masih konsisten  dengan ajaran dan pemikiran awal Islam yang dibawa oleh Nabi saw dan dipraktekkan para sahabat assabiqunal awwalun minal muahjrin wal anshor dengan nama Ahlussunnah wal Jam’ah. Tidak semua aliran keislaman menyandang nama Ahlussunnah wal Jama’ah , Misalnya : -   ...
Posting Komentar
Baca selengkapnya