Sistem Bilangan Nyata

SISTEM BILANGAN NYATA

A.  Pengertian Sistem Bilangan Nyata

Sistem bilangan nyata adalah suatu himpunan dari unsur-unsurdengan operasi yang dapat didefinisikan (+ , - , : , log , dan akar ). Sedangkan himpunan-himpunan dalam aljabar adalah himpunan-himpunan bilangan. 

Dapat disimpulkan bahwa bilangan real adalah bilangan-bilangan yang dapat mengukur panjang, beserta bilangan negatif dan bilangan nol. Atau dengan kata lain bilangan real adalah bilangan yang dapat diurutkan dengan bilangan nol menjadi titik awal untuk mengukur jarak ke kanan (positif) dan ke kiri (negatif).

Adapun berikut adalah pengertian dari bagian bilangan real:

1.         Bilangan Irasional

Bilangan irasional adalah bilangan real yang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernah terhenti). Contoh paling umum dari bilangan irasional adalah bilangan akar,pi dan bilangan e.

2.         Bilangan Rasional

Bilangan rasional adalah bilangan real yang jelas ukurannya (hasil baginya dapat terhenti). Meliputi:

a.    Bilangan Pecahan

Bilangan pecahan adalah istilah dalam matematika yang terdiri dari bilangan pembilang dan penyebut. Hakikat transaksi dalam bilangan pecahan adalah bagaimana cara menyederhanakan pembilang dan penyebut. Penyederhanaan bilangan tersebut hanya akan mempermudah dalam operasi aritmatika tanpa mengurangi nilai dari bilangan tersebut.

b.    Bilangan Bulat

Bilangan bulat adalah bilangan yang mencakup:

·      Bilangan cacah meliputi bilangan 0,1,2,3...

·      Bilangan nol (0)

·      Bilangan negatif, merupakan bilangan yang kurang dari nol. Meliputi: -1,-2,-3,...

·      Bilangan asli, merupakan bilangan yang lebih dari nol dan dapat disebut sebagai bilangan positif. Meliputi: 1,2,3...

·      Bilangan prima, merupakan bilangan yang tidak dapat dibagi dengan bilangan lain, kecuali bilangan itu sendiri dan bilangan satu (1). Meliputi: 2,3,5,7....

·      Bilangan komposit, merupakan bilangan asli lebih dari satu namun bukan bilangan prima. Meliputi: 4,6,8,9...

B.  Operasi Bilangan Real

1.    Operasi Penjumlahan

a + b = c, dengan a, b, c ΠR

2.    Operasi Pengurangan

a ˗ b = c <=> a + (-b) = c, dengan a, b, c ΠR

3.    Operasi Perkalian

a x b = c, dengan a, b, c Î R

4.    Operasi Pembagian

a/b =a x 1/b=c, dengan a, b, c Î R

C.  Sifat-Sifat Operasi Bilangan Real

1.    Penjumlahan

a.       Sifat tertutup

a + b = r

b.      Sifat komutatif

a + b = b + a

c.       Sifat asosiatif

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c

d.      Sifat distributif perkalian

a( b + c ) = ab + ac (distributif kiri)

( b + c)a = ba + ca (distributif kanan)

e.       Sifat identitas pada penjumlahan

0 + a = a <=> a + 0 = a

Sehingga dapat disimpulkan bahwa 0 adalah elemen identitas atau elemen netral.

f.       Sifat invers

a + (-a) = 0 <=> (-a) + a = 0

2.    Perkalian

a.       Sifat tertutup

a. a x b = r

b.      Sifat komulatif

a x b = b x a

c.       Sifat asosiatif

(a x b) c = a (b x c)

d.      Sifat identitas

a x 1 = a

sehinga dapat disimpukan bahwa 1 adalah elemen identitas atau elemen netral.

e.       Sifat invers (pada perkalian tidak berlaku, sebab 0 tidak mempunyai invers).

a x 1/a = 1/a x a = 1 ( untuk a bukan 0)

0 x 1/0 bukan 1 (tidak didefinisikan)

f.       Hasil perkalian dua bilangan bulat dilihat dari tanda bilangannya

·         Hasil perkalian dua bilangan bulat positif adalah biangan positif

(+) x (+) = (+)

·         Hasil perkalian dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif

(-) x (-) = (+)

·         Hasil perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat negatif

(+) x (-) = (-)

(-) x (+) = (-)

3.    Pembagian

a.       Tidak berlakunya sifat komulatif

a/b bukan b/a

b.      Sistem operasinya berkebalikan dari perkalian

a/b = c bukan c/b = a

c.       Hasil dari pembagian dua bilangan bulat dilihat dari tanda bilangannya

·         Hasil bagi dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif

( + ) : ( + ) = ( + )

·         Hasil bagi dua bilangan negatif adalah bilangan bulat positif

( - ) : ( - ) = ( + )

·         Hasil bagi dua bilangan salah satu bilangan bulat negatif dan bilangan bulat positif, maka hasil pembagiannya adalah bilangan bulat negatif

( + ) : ( - ) = ( - )

( - ) : ( + ) = ( - )

d.      Hasil pembagian dengan nol ( 0 )

a : 0 = tidak terdefinisikan

0 : a = 0

Untuk semua bilangan bulat

e.       Tidak berlakunya sifat asosiatif

( a : b ) : c bukan a : ( b : c )

f.       Tidak bersifat tertutup. Jika pada penjumlahan maupun perkalian a/b = c, maka dalam pembagian, c bisa saja tidak bilangan bulat.

Contoh: 6 : (-9) = (-2/3)

4.    Pengurangan

a.       Dasar operasi pengurangan

a – b = a + ( -b )

b.      Sifat tertutup

a – b = c

c.       Tidak berlakunya sifat asosiatif

a – b bukan b – a

d.      Tidak berlakunya sifat komulatif

(a – b ) –c bukan a – ( b – c )

e.       Sfat pengurangan nol 0

a – 0 = a

0 – a = ( -a )

0 – 0 = 0